Suite doublement indexée

Soit \(n\)  et \(p\)  deux entiers naturels. On pose \(I_{n,p}=\displaystyle\int_0^1x^n(1-x)^p\text dx\) .

1. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que, \(\forall n\in\mathbb{N},\,\forall p\in\mathbb{N}^{*},\,I_{n,p}=\dfrac{p}{n+1}I_{n+1,p-1}\) . En itérant le procédé, on peut montrer que   \(\forall n\in\mathbb{N},\,\forall p\in\mathbb{N},\,I_{n,p}=\dfrac{n!p!}{(n+p)!}I_{n+p,0}\) .

2. En déduire que  \(\forall n\in\mathbb{N},\,\forall p\in\mathbb{N},\,I_{n,p}=\dfrac{n!p!}{(n+p+1)!}\) .

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) , \(\displaystyle I_{n,n}=\dfrac{1}{2n+1}\prod_{k=1}^n\dfrac{k}{n+k}\) .
    b. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) ,  \(0\leqslant I_{n,n} \leqslant \dfrac{1}{2n+1}\)  puis déterminer la limite de  \((I_{n,n})\) .